System.Data.SQLite ライブラリを使って共有フォルダのデータベースファイルに接続するには、以下のようにしたのではダメでした。
using (var conn = new SQLiteConnection(@"Data Source=\\srv01\share\hoge.sqlite")){ .... }
以下のように、余分に \ を付け加えるとOKでした。
using (var conn = new SQLiteConnection(@"Data Source=\\\\srv01\share\hoge.sqlite")){ .... }
謎です。。。エスケープとかが関係してるのかな??